Now Reading
Τι δείχνει η ανάλυση δεδομένων για τον κορωνοϊό στην Ελλάδα

Τι δείχνει η ανάλυση δεδομένων για τον κορωνοϊό στην Ελλάδα

  • Μία στοχαστική προσέγγιση στη μοντελοποίηση της εξάπλωσης του ιού

Κάποτε ήταν ο Λοιμός των Αθηνών, ο Μαύρος Θάνατος, η Ισπανική Γρίπη, και στις μέρες μας ο SARS, ο Η1Ν1, ο Zika, ο Έμπολα. Δεν είναι η πρώτη φορά που μία πανδημία χτυπά τον πλανήτη αφήνοντας πίσω της χιλιάδες θύματα. Με τον COVID-19, ζούμε πράγματι ιστορικές στιγμές.

Μέτρα άνευ προηγουμένου για μία ευνομούμενη πολιτεία πάρθηκαν αναγκαστικά ώστε να περιοριστεί η διασπορά της νόσου, κάτι που θα είχε τρομακτικές επιπτώσεις στο ελληνικό σύστημα υγείας. Τα μέτρα αυτά, είναι σαφώς προς τη σωστή κατεύθυνση, όμως σε κάθε περίπτωση, η ατομική ευθύνη είναι αυτή που θα καθορίσει αν η Ελλάδα θα ακολουθήσει το δρόμο της Ιταλίας ή εκείνον της Νοτίου Κορέας.

Στην περίπτωση του COVID-19, ο βασικός ρυθμός αναπαραγωγής υπολογίζεται μεταξύ 1,5 και 3,5 κατά το Imperial College του Λονδίνου

Τα νούμερα στο γειτονικό μας «Lo Stivale», δηλαδή την «Μπότα», το προσωνύμιο της Ιταλίας λόγω του σχήματός της, είναι αποκαλυπτικά – κυριολεκτικά και μεταφορικά. Μέχρι τις 29 Μαρτίου 2020, η χώρα του Δάντη μετρά 97.689 κρούσματα και 10.779 νεκρούς. Σχετικά όμως με την Ελλάδα, πού προβλέπεται ότι θα φτάσει η κορυφή της καμπύλης κρουσμάτων και πότε θα αρχίσει να πέφτει;

Για την ανάλυσή μας εφαρμόσαμε δύο SIR μοντέλα. Το SIR (Susceptible-Infected-Recovered) αποτελεί ένα ευρέως διαδεδομένο επιδημιολογικό μοντέλο συστήματος διαφορικών εξισώσεων· το μοντέλο αυτό χωρίζει τον πληθυσμό σε τρεις κατηγορίες, όπως αφήνεται να εννοηθεί από την ονομασία του:

  • Ευπαθείς (Susceptible): Ο πληθυσμός που είναι μεν υγιής, αλλά μπορεί να αρρωστήσει.
  • Μολυσμένοι (Infected): Ο πληθυσμός που νοσεί.
  • Θεραπευμένοι (Recovered): Ο πληθυσμός που θεραπεύθηκε, απέκτησε ανοσία ή απεβίωσε.

Εν προκειμένω, εφαρμόσαμε ένα ντετερμινιστικό κι ένα στοχαστικό SIR μοντέλο. Η διαφορά ανάμεσα στα προαναφερθέντα, έγκειται στο ότι στο μεν ντετερμινιστικό μοντέλο οι μεταβλητές καθορίζονται πλήρως από δεδομένες αρχικές παραμέτρους, ενώ στο στοχαστικό μοντέλο οι μεταβλητές είναι τυχαίες, έτσι αυτό να μπορεί να «παραγάγει» ισοπίθανα περισσότερα αποτελέσματα.

Στην ανάλυσή μας, τον θεωρούμε ίσο με 2,85, ήτοι, κάθε μολυσμένος επιμόλυνε περίπου τρεις υγιείς

Και στις δύο περιπτώσεις υποθέσαμε ότι δεν υπάρχουν τα λεγόμενα vital dynamics, δηλαδή οι θάνατοι και οι γεννήσεις θεωρούνται αμελητέες ποσότητες.

Ωστόσο, παρουσιάζουμε τη στοχαστική εκδοχή του SIR, που άλλωστε είχε τα ίδια αποτελέσματα με την ντετερμινιστική. Αυτό το κάνουμε, λοιπόν, αφενός για οικονομία, αφετέρου διότι είναι σημαντικό όταν μιλάμε για την εξέλιξη και διάδοση μίας ασθένειας να αναφερθούμε σε τυχαίες επιδράσεις (random effects) που μπορούν είτε να επιταχύνουν είτε να επιβραδύνουν τη διαδικασία εξάπλωσης.

Έτσι, για να μπορέσουμε να συλλάβουμε αυτή την τυχαιότητα, εισαγάγαμε μία στοχαστική διαδικασία στο σύστημα των ντετερμινιστικών εξισώσεων του μοντέλου.

Έτσι, η τυχαιότητα αυτή περιγράφεται από μία κίνηση Brown (Wt). Η κίνηση Brown είναι το συνεχές ανάλογο του «τυχαίου περιπάτου» (random walk). Εισάγοντας μία κίνηση Brown στο μοντέλο έχουμε ως αποτέλεσμα ότι η διαδικασία μπορεί ανά πάσα στιγμή να κινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω με τις ίδιες πιθανότητες.

Εάν η Κυβέρνηση δεν είχε λάβει κανένα μέτρο κατά της εξάπλωσης του COVID-19, θα νοσούσε το πολύ το 40% του πληθυσμού στο ζενίθ της εξάπλωσης

Πρακτικά, συμπεριλαμβάνοντας μία κίνηση Brown στο σύστημα των εξισώσεων, καταφέρνουμε να εισαγάγουμε μία κανονική κατανομή για το σύνολο τον μεταβλητών μας.

Η κίνηση Brown, πιο συγκεκριμένα, ορίζεται ως μια στοχαστική διαδικασία που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

  • Το W0 = 0, δηλαδή η διαδικασία ξεκινά στο 0
  • Το Wt = Ws έχει την ίδια κατανομή αλλά είναι ανεξάρτητο από το W(t-s)(δηλαδή οι προσαυξήσεις είναι ανεξάρτητες με ίδια κατανομή)
  • Το Wt αποτελεί συνεχή στοχαστική διαδικασία

Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων του στοχαστικού SIR τότε, μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

  • dS = βSIdt + σdW
  • dI = (βSI – γI) dt + ρdW
  • dR= γIdt (σ +ρ) dWt

όπου S συμβολίζει το πλήθος των ευπαθών, I το πλήθος των μολυσμένων και R το πλήθος των θεραπευμένων. Να σημειωθεί ότι το άθροισμα S + I + R, παραμένει σταθερό και ίσο με τον πληθυσμό· το άθροισμα των παραγώγων πρέπει να αθροίζει στο μηδέν.

Ο ρυθμός μετάδοσης (transmission rate) συμβολίζεται με β και ο ρυθμός θεραπείας (recovery rate) με γ. Ο ρυθμός θεραπείας είναι ίσος με 1/D, όπου D θεωρούμε τη διάρκεια της μόλυνσης, δηλαδή κατά προσέγγιση 15 ημέρες, σύμφωνα με όσα ακούγονται από τους ειδικούς. Ο ρυθμός μετάδοσης υπολογίστηκε από εμάς με βάση το βασικό ρυθμό αναπαραγωγής (basic reproduction number) R0.

R0=β/γ

Στην περίπτωση του COVID-19, ο ρυθμός αυτός υπολογίζεται μεταξύ 1,5 και 3,5 κατά το Imperial College του Λονδίνου. Στην ανάλυσή μας, τον θεωρούμε ίσο με 2,85, ήτοι, κάθε μολυσμένος επιμόλυνε περίπου τρεις υγιείς. Ο πληθυσμός της χώρας υπολογίστηκε σε έντεκα εκατομμύρια.

Επιπλέον, είναι σημαντικό να αναφερθούν οι επιδράσεις των παραμέτρων σ και ρ. Όσο μεγαλύτερες είναι οι τιμές τους, τόσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση, έτσι, υπάρχει μεγαλύτερη μεταβολή στην εξάπλωση του ιού μέρα με την μέρα.

Όπως γίνεται αντιληπτό, οι περιορισμοί 0≤S,I,R≤1 εξαναγκάζουν τον αλγόριθμό μας να χρησιμοποιήσει μία «συρρικνωμένη» εκδοχή της κίνησης Brown, που δεν επιτρέπει ποτέ στις μεταβλητές να ξεπεράσουν ή να πέσουν κάτω από τα όρια αυτά.

Σύμφωνα με την ανάλυσή μας, εάν η Κυβέρνηση δεν είχε λάβει κανένα μέτρο κατά της εξάπλωσης του COVID-19, θα νοσούσε το πολύ το 40% του πληθυσμού στο ζενίθ της εξάπλωσης, αν κρίνουμε από τις προσομοιώσεις της SIR διαδικασίας. Η εισαγωγή της στοχαστικής διαδικασίας γίνεται, λοιπόν, φανερή, λόγω των μεγάλων αποκλίσεων που υπάρχουν. Κάθε γραμμή στα σχεδιαγράμματα αντιπροσωπεύει ένα ξεχωριστό μονοπάτι της προσομοίωσης.

Το μοντέλο, λοιπόν, τώρα εξαρτάται από μία τυχαία μεταβλητή, όπου στην περίπτωσή μας ακολουθεί κανονική κατανομή, με αποτέλεσμα το μοντέλο να λαμβάνει διαφορετικές τιμές σε κάθε προσομοίωση. Η κάθε προσομοίωση αντιπροσωπεύει μία διαφορετική κατάσταση των τυχαίων γεγονότων που επηρεάζουν την εξάπλωση του ιού.

Σχήμα 1: Κανένα μέτρο

Όμως το SIR μπορεί να βελτιωθεί εάν λάβουμε υπόψη μια κατάλληλη συνάρτηση f (t) που θα μοντελοποιεί τις συνέπειες των προληπτικών μέτρων της Κυβέρνησης και των πολιτών κατά τη διάρκεια της εξάπλωσης του ιού.

See Also

Η συνάρτηση αυτή θα συμπεριληφθεί στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων του SIR με τέτοιον τρόπο ώστε να μειώνει τον ευπαθή και να αυξάνει τον θεραπευμένο πληθυσμό, ενώ είναι της μορφής.

Οι παράμετροι f(t)=kexp(-mt), m είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός, επιλέχθηκαν με βάση τα μέχρι τώρα δεδομένα, και επηρεάζουν άμεσα το ζενίθ του μολυσμένου πληθυσμού καθώς και το χρόνο θεραπείας ολόκληρου του πληθυσμού, αφού αντιστοιχούν στα εκάστοτε κυβερνητικά μέτρα και στην πρόληψη των πολιτών. Έτσι, οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται:

  • dS = ( – βS – f(t)) Idt + σdWt
  • dI = (βSI – γI)dt + ρdWt
  • dR = (γ + f(t)) Idt – (σ+ρ) dWt

Στη χώρα μας, τα πρώτα μέτρα ελήφθησαν περίπου δέκα μέρες μετά το πρώτο κρούσμα και αφορούσαν το κλείσιμο των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Αν είχε παρθεί μόνο αυτό το μέτρο, θα νοσούσε το πολύ το 3,5 τοις εκατό του πληθυσμού, το οποίο σημαίνει ότι από μόνο του αυτό το μέτρο θα είχε θετικές επιδράσεις κατά της εξάπλωσης, αλλά σε κάθε περίπτωση μεγάλες κοινωνικές επιπτώσεις.

-Παρόλα αυτά, η Κυβέρνηση αποφάσισε σύντομα μετά την πρώτη δέσμη μέτρων να προχωρήσει σε απαγόρευση κυκλοφορίας. Όπως βλέπουμε, μετά το αυστηρότατο αυτό μέτρο, η κορυφή της καμπύλης φτάνει σε απειροελάχιστα ποσοστά· υπολογίζεται τελικώς πως θα νοσήσουν κατά προσέγγιση το πολύ 6.600 και το λιγότερο 2.200 άτομα του ευπαθούς (S) πληθυσμού.

Η κορυφή της καμπύλης αναμένουμε να διαμορφωθεί περίπου στις τριάντα μέρες μετά τη λήψη του δεύτερου πακέτου μέτρων.

Με την απαγόρευση της κυκλοφορίας υπολογίζεται τελικώς πως θα νοσήσουν κατά προσέγγιση το πολύ 6.600 και το λιγότερο 2.200 άτομα

Βλέπουμε λοιπόν στα τελευταία σχεδιαγράμματα των S και R, ότι ο στοχαστικός όρος εξουδετερώνεται λόγω της συνάρτησης των μέτρων πρόληψης . Τα μέτρα που πάρθηκαν, μπορούν ανάλογα την ένταση να κάνουν τους ευπαθείς (S) και θεραπευμένους (R) πληθυσμούς να αυξηθούν ή να μειωθούν κατά έναν σχεδόν τέλεια ντετερμινιστικό τρόπο.

Επιπλέον, το ζενίθ του μολυσμένου πληθυσμού μειώνεται περαιτέρω με έναν συντελεστή της τάξεως.

Σχήμα 2: Πρώτη Δέσμη Μέτρων

Συμπερασματικά, κατανοούμε πόσο αυτά τα μέτρα βοηθούν στο να μην μπούμε στα ιταλικά μονοπάτια, αλλά να βγούμε όσο γίνεται αλώβητοι από τη νέα αυτή κρίση. Αυτό που χρειάζεται είναι μία συνεργασία κράτους και πολίτη ώστε να νικηθεί ο COVID-19 με όσο το δυνατόν λιγότερες απώλειες.

Οι κραυγές περί αντιδημοκρατικών μέτρων είναι αίολες και έωλες αφού, σε κάθε περίπτωση, καμία κυβέρνηση δεν θα προχωρούσε σε lockdown εάν οι ίδιοι οι πολίτες ήμασταν ώριμοι, ακούγαμε τους ιατρούς που επισήμαιναν εξαρχής ότι ο νέος κορωνοϊός είναι πολύ μεταδοτικός και, ως εκ τούτου, περιορίζαμε από μόνοι μας τις μετακινήσεις μας στις απολύτως απαραίτητες, κάτι που εν προκειμένω αποτελεί πανάκεια κατά της διασποράς.

Επιπλέον, θα έπρεπε να επισημανθεί ότι δεν χρειάζεται να ωριμάσουμε μόνο εμείς ως κοινωνία, αλλά και οι ίδιοι οι ευρωπαϊκοί θεσμοί· οι αρνητικές συνέπειες της πανδημίας στην οικονομία της ΕΕ, ιδίως δε του Νότου, θα είναι τρομακτικές, οπότε είναι δέουσα η συσπείρωση των οργάνων των Βρυξελλών προς το δρόμο της ολοκλήρωσης του ευρωπαϊκού οράματος.

Σχήμα 3: Δεύτερη Δέσμη Μέτρων

Θα έπρεπε πράγματι, όπως λέει το σύνθημα της ΕΕ, να είμαστε «Ενωμένοι στην πολυμορφία» και όχι απλώς μία γραφειοκρατική ένωση υπό τη σκέπη της γερμανικής Ενάτης Συμφωνίας.

View Comments (0)

Leave a Reply

Your email address will not be published.

© 2020 ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ. ALL RIGHTS RESERVED.
Scroll To Top